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不太懂為什麼答案會是這樣無名20/09/22(二)17:23:14 ID:Abi0X1AQNo.290del[回應]
10個人聚在一起玩智力遊戲,
他們每個人都被戴上一頂紅色或白色的帽子,
每個人都不知道自己戴了什麼顏色的帽子,但他們都能看到其他人的帽子,
主持人請大家好好觀察四周後,閉上眼睛,
說道:『至少有一個人戴著的帽子是紅色的,知道自己帽子顏色的人請舉手。』

主持人看了看大家的反應,
說道:『沒有人舉手,那我再問第二次,知道自己帽子顏色的人請舉手。』
主持人就這樣反覆的把舉手的人數告訴大家,一直詢問下去,
有5個人戴著紅色帽子,5個人戴著白色帽子,

請問,主持人就這樣一直問下去,會有人舉手嗎?
如果會,是在問到第幾次的時候?多少人會舉手呢?
問到第幾次的時候所有人都會舉手呢?

這題網路上給的答案是:
主持人已經告訴大家至少有一個人戴紅帽,

主持人第一次問的時候,
如果只有一個人戴紅帽,那個人看到其他人都不是戴紅帽,馬上就可以知道自己戴的是紅帽,
所以如果只有一人戴紅帽,他在第一次問的時候就會舉手;
第一次問完沒人舉手,大家就可以推理出來至少有兩個人戴紅帽。

第二次問的時候,
如果只有兩個人戴紅帽,那兩人看到其他人只有一頂紅帽,馬上就可以知道自己戴的是紅帽,
所以如果只有兩人戴紅帽,他們在第二次問的時候就會舉手;
第二次問完沒人舉手,大家就可以推理出來至少有三個人戴紅帽。

第三次問的時候,
如果只有三個人戴紅帽,那三人看到其他人只有兩頂紅帽,馬上就可以知道自己戴的是紅帽,
所以如果只有三人戴紅帽,他們在第三次問的時候就會舉手;
第三次問完沒人舉手,大家就可以推理出來至少有四個人戴紅帽。

依此類推,
如果有N個人戴紅帽,在第N次問的時候他們就會舉手,
其他人看到他們舉手,也可以知道只有他們N個人戴帽子,
在N+1次的時候,剩下的人就都會舉手了。
所以答案是
問到第5次的時候,會有5個人舉手;
問到第6次的時候,所有人都會舉手。

但是我不懂
5紅5白,可以分成看到4紅5白的5紅人和看到5紅4白的5白人,所有人在一開始就會看到有至少有4紅了,怎麼還會去推理『如果只有1個人戴紅帽,如果只有2個人戴紅帽,如果只有3個人戴紅帽』這種條件?
無名20/09/22(二)18:49:33 ID:3cgPC0yMNo.291del
歸納法

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無題無名20/09/21(一)07:01:53 ID:sv79RJ.6No.287del[回應]
沒有明確指出用到選擇公設的證明算是嚴謹的證明嗎
我在自學數學分析用了以下的書
Principles of Mathematical Analysis by Rudin
Real Mathematical Analysis by Pugh
Mathematical Analysis by Apostol
這些書在提到countability的時候都沒有明確的指出用到選擇公設

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無題無名20/08/25(二)08:57:53 ID:28B02AcYNo.266del[回應]
有島民知道圖中畫紅線處的意思嗎
我知道要怎麼證明the infiniteness of $S$
只是我不懂Rudin的argument
這個問題煩惱了我六年...
無名20/09/03(四)13:39:23 ID:5c/DQfigNo.272del
如果 $S = \{ x_n \}_{n=1}^{\infty}$ 是個有限集,即是 S 只歷遍有限多個點 (其中不含 $x_0$)
那麼 $D = \{ \vert x_n - x_0 \vert \}_{n=1}^{\infty}$ 只能出現有限多個數值
至少有一數值 d>0 要在 D 裡出現無窮多次
(於是 D 有一子數列恆為 d>0,若 D 有極限則必是此數;這與 $S \to x_0$ 即 $D \to 0$ 矛盾)
這樣?

(文意也可能是指 D 一定有個正的下限,與 $D \to 0$ 矛盾;雖然文中沒明言 has positive lower bound 之類字眼)
無名20/09/04(五)20:25:54 ID:yxA7pvfkNo.276del
>>272
根據Rudin的定義
$S$ is finite iff $S = \{ x_j : |x_j - x_0| < \frac{1}{j}, j \in J_n \}$ where $n \in \mathbb{N}$
無名20/09/04(五)20:30:10 ID:yxA7pvfkNo.277del
我認為$S$不能表示成你那樣
因為$x_n$會滿足depends on $n$的不等式
你的寫法已經代表$S$非有限對吧?
無名20/09/08(二)16:00:36 ID:G3O5csKkNo.278del
對,但是沒衝突吧
不過我上面將 S 一時當成集,一時當成序列
區分清楚重頭說一次好了

現在想證若 E 非閉集則命題 (c) 為假
假設 E 非閉集,按定義 E 有極限點 $x_0$
繼而有一序列 $x_1, x_2, \dotsc \in E$ 符合 $\vert x_n - x_0 \vert < 1/n$
令 $S$ 為集合 $\{ x_1, x_2, \dotsc \}$,先欲證 S 是無窮集

反之假設 S 是有限集,即是 $x_1, x_2, \dotsc$ 之中其實只出現過有限多個不同的點
令 D 為 $\{ \vert x_n - x_0 \vert \}_0^\infty$ 這 $x_n$ 離 $x_0$ 之距的序列
可知 D 每項皆正數,並且 D 之中也只會出現有限多個不同的數值
反過來說至少有一數 d>0 要在 D 中出現無窮多次,即 D 有一子序列恆常為 d
因此若 D 有極限,則極限必等於這子序的極限,即是 d>0
回看 $\vert x_n - x_0 \vert < 1/n$,己有矛盾,故 S 為無窮集

命題 (c) 指 E 的一切無窮子集都在 E 中有極限點
既然 S 是 E 無窮子集,可用 S 試探 (c) 的虛實
原文紅線後的部分如此推論,最後再得出予盾推翻 (c)
無名20/09/12(六)10:04:12 ID:EqhzEhKINo.279del
If $E$ were finite, then, by Archimedean property,
there would be an $m \in \mathbb{N}$ such that
$\frac{1}{m} < min_{1 \leq k \leq n} |x_0 - x_k|$ where
$n = card(E)$, and we could find an $x_m$ with $|x_0 - x_m| < \frac{1}{m}$;
whence by construction, $|x_0 - x_m| < |x_0 - x_m|$, which is absurd.
無名20/09/12(六)10:05:43 ID:EqhzEhKINo.280del
>>279
少了一句$x_m$一定在$E$裡面
無名20/09/12(六)10:15:05 ID:EqhzEhKINo.281del
>>272
>>278
感謝 我懂了
比較rigorous的寫法

Since $x_0$ is a limit point of $E$, the sets
$\Sigma_n = \{x \in E: |x - x_0| < \frac{1}{n} \}$
cannot be empty. By axiom of choice and axiom of
replacement, let $S = \{ x_j : x_j \in \Sigma_j \}$.
然後接$S$不能是finite>>279

無題無名20/08/16(日)10:36:55 ID:GnBbQJ/2No.254del[回應]
偶然看到影片介紹
設某數e不屬於R且$e^2 = 0$
影片只說了這e很晚才發現
想知道這數有沒有名字
還有什麼時候發現的?
有回應 14 篇被省略。要閱讀所有回應請按下回應連結。
無名20/09/03(四)22:09:34 ID:yv.riYyUNo.275del
看起來這種變換算是squeeze
https://en.wikipedia.org/wiki/Squeeze_mapping
原Po20/09/17(四)20:46:52 ID:WwH8o7WsNo.283del
>>274
你可能需要這個
https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra
適當的選擇三兄弟當基底,製作出來的代數可以解決不同領域的問題
據說最近物理學也是近幾年才發現這玩意好用

我非數學系畢業,看到這玩意的能耐之後總覺得高中或大學應該要教
畢竟這東西會讓人想大喊"用四元數來處理旋轉過時啦~~"
但是學習過程中遇到一堆似乎數學系才會教的概念
就覺得要推廣給大家實在很困難
無名20/09/19(六)03:02:44 ID:cjKr6RTkNo.284del
>>283
我是學資工的
因為電腦圖學的關係碰了很多四元數和旋轉矩陣的東西,
所以也稍微看過了clifford algebra相關的東西
像是這個https://bivector.net/tools.html之類的
雖然到後來是沒看懂多少就是了
上面有些關鍵字也是在找這些東西時發現的
記得應該是先從dual quaternion這東西開始往下找才看到dual number這些名字

>>用四元數來處理旋轉過時啦~~
讓我想到這個影片https://www.youtube.com/watch?v=Idlv83CxP-8
不過我後來覺得rotor在數學上的表示好像跟四元數一模一樣就是了(概念上倒是有些地方比四元數清楚)
然後我自己在處理旋轉的時候是全部用旋轉矩陣來弄

開始碰電腦圖學和深度學習這些大量使用了線性代數的東西後,
才逐漸發現矩陣運算其實是很幾何的東西
所以才提了上面講的那些東西
從資工的角度來看,我覺得複數、四元數這些東西就像是最佳化過後的程式
運算上更快速,但就比較不直觀
而矩陣就是基底向量組成的空間,經過二維、三維的例子操作熟悉了之後就很自然
像上面提的三種不同的複數,從矩陣來看就是三種不同的線性轉換,就不會覺得是很奇妙的東西
特別在面對"e^2=0但不屬於R"這些很違反直覺的文字,直接帶入矩陣就清楚多了
(然後這讓我想到這個影片https://www.youtube.com/watch?v=wTUSz-HSaBg)
從這邊出發再走到那些簡化後的代數的世界,感覺應該會更容易理解
原Po20/09/20(日)12:15:12 ID:jXjnpCckNo.285del
>>284
我也是資工系🤝
矩陣和四元數各自有缺點,視情況得用不同方案解決
例如對旋轉作內插,得改用slerp或dual quaternion
幾何代數對於各種情況一體適用,演算法更簡潔
就是進入門檻有點高,得用全新的思考方式去看待所有東西

目前計畫除了shader以外的程式,盡量不用矩陣和四元數
尤其四元數部分打算全部砍掉
無名20/09/20(日)20:56:30 ID:FDMGKQAYNo.286del
>>285
旋轉內插我倒是有看到矩陣也有辦法可以幹
不過數學看起來有點複雜就是了...

盡量不用矩陣和四元數聽起來有點奇妙
那你要用什麼啊?
之前我也為了要選什麼表示法來處理旋轉搞了很久
中途也看過了euler angle、exponential map(angle-axis)之類的辦法
最後因為我是在弄NN,所以選了一個叫6D表示法的東西(其實就是只用旋轉矩陣前兩行,有需要再QR)
rotor我看過他的sample code,基本上跟四元數一模一樣
還是說幾何代數跟rotor不一樣嗎
無名20/09/21(一)19:49:27 ID:SWVJV5UcNo.288del
>>286
>盡量不用矩陣和四元數聽起來有點奇妙
>那你要用什麼啊?
就打算用全部用幾何代數搞定

這有點類似盲人摸象的概念
矩陣、四元數、dual quatenion都只是大象的一部分
但我們認不出是大象,反而認為它們分別是不同的東西
然後幾何代數跳出來說這些東西其實只是大象的不同部位

用全新的觀點來看,很多問題有更優雅的解法
就像四元數做旋轉的演算法是四元數從左右兩邊夾住要旋轉的點
幾何代數中乍看演算法是一樣的,但它可以同時旋轉加移動(或是只移動)
而且旋轉(移動)線或平面的演算法也完全一模一樣
因為無論旋轉或移動,可以看做物體對著兩條軸線反射(reflection)了兩次

詳細我也還在學,還沒到能教人的程度...
無名20/09/22(二)01:33:43 ID:mLlmlNUcNo.289del
>>288
旋轉部分我有看到那個用兩次反射來解釋的說法(上面那個rotor的影片)
不過移動就沒看到了
這部分我還是習慣矩陣、齊次座標的方法(移動是在高次元中的變換的投影)
幾何代數要加上移動的話意思應該就是rotor以外還需要一些其他部分吧
就像dual quaternion可以處理移動那樣

幾何代數比矩陣還要廣泛
然後我就找了一下張量跟幾何代數有沒有什麼關係
https://math.stackexchange.com/a/740286
感覺是有交集,但沒有互相包含
不知道能包含這兩邊的東西長什麼樣子
無名20/09/22(二)20:47:23 ID:THuBIzdQNo.292del
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>>289
旋轉 => 兩條用來反射的軸線相交於一點,等同繞著相交點旋轉
移動 => 兩條線互相平行
旋轉加移動 => 兩條線不平行且不相交

左圖在講古,讓我們有一百年沒幾何代數的戰犯是誰XD
最後稍微提到tensor的問題(幾何代數是coordinate-free)

只能期待數學界生出一個大一統理論了
無名20/09/22(二)23:40:51 ID:mLlmlNUcNo.293del
>>292
這張圖有來源嗎
想來看看,感覺蠻不錯的
無名20/09/23(三)00:21:19 ID:ilTiYXkwNo.294del
>>293
從這本書來的 "Geometric Algebra for Computer Science"
有六百多頁...OTL

0/0無名20/08/04(二)18:45:38 ID:nMH9oXC6No.252del[回應]
是否對所有連續的非常數函數f(x),g(x)
若f(0)=g(0)=0,則:
當x趨近於0,f(x)/g(x)的極限存在?
無名20/08/06(四)09:50:52 ID:dvmMaE3cNo.253del
隨便弄個
$f(x) = x \sin \frac{1}{x}, \text{if} x \neq 0,$
$f(0) = 0,$
$g(x) = x$


其實「非常數函數」的條件不夠嚴密
也能這樣規避掉:
$f(x) = \max(2x - 1, 0),$
$g(x) = \max(x - 1, 0)$
當然,理解你大概不想算這樣的
我自行將要求加強為:
f, g連續且在任何包含0的開區間內非常數函數
無名20/08/24(一)21:05:55 ID:67Kyu6HgNo.264del
>>253
如果最後一句改成不會發散到無限大的話會成立嗎
無名20/08/25(二)20:43:37 ID:qCp90JckNo.267del
>>264
f(x) = x
g(x) = x^2
其實本來就這樣答更直接
不過當時腦裡先浮現了sin(1/x)這類的
無名20/08/28(五)13:53:42 ID:FAnInki.No.268del
我個人是覺得這樣有點作弊就是了,畢竟x/x²約分之後就不符合我的要求了。
那再加一條f(x)和g(x)沒有共同的因子如何,我想試著思考看看0/0到底能被賦予什麼意義
無名20/09/02(三)13:53:30 ID:thxV.D4UNo.269del
>>268

這樣想有點奇怪
你的問題是關於普遍實函數的一些極限特性
$x/x^2$ 能不能約分沒關係啊
$f(x)=x, g(x)=x^2$ 和 $f(x)=1, g(x)=x$ 不能混為一談

況且因為實函數的無窮自由度
總可以微調一下使 $f(x)/g(x)$ 不能約分
例如 x 和 sin x 在 x=0 附近都差不多
於是可以改用 $f(x)=\sin x, g(x)=x^2$ 依然不失精髓
或者 $f(x) = \sqrt{x+1} - 1$,或者 $f(x)=x + \frac{1}{100} \cos x$

>>我想試著思考看看0/0到底能被賦予什麼意義

你在想的可能是L'Hôpital's rule
可能暫時還沒讀到
微積分課程以後一定會提到的了

預告一下,就是設已知 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$
那$\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x \to a$ 時可能(a)趨向0 、(b)非0實數、(c)$\pm \infty$
或(d)發散而有界,或(e)發散而無界

簡單能表現出特徵的例子有
(a) $f(x)=x^2, g(x)=x$
(b) $f(x)=g(x)=x$
(c) $f(x)=x, g(x)=x^2$
(d) $f(x)=x \sin \frac{1}{x}, g(x)=x$,取 $f(0)=0$
(e) (d)倒過來
無名20/09/14(一)23:25:44 ID:yXLOL9q.No.282del
這麼說來好像也是。
主要還是因為L'Hôpital's rule會有不適用的狀況(sinx/x)我才在想這個的
雖然原本目標是「將n/0形式的定義為數的集合」之類的東西就是了,說不太清楚

比較99^100與100^99玄元皇鳥20/07/05(日)20:21:06 ID:oBOampIcNo.249del[回應]
https://youtu.be/tdq-L39MShw
用了對數法和導函數法比較
不知道還有什麼其他方法可解?
無名20/07/16(四)13:10:25 ID:8YStYWKENo.250del
要速算的話可以這樣
$\frac{100^{99}}{99^{100}} = \frac{1}{99} \left( \frac{100}{99} \right) ^{99}$
$= \frac{1}{99} \left( 1 + \frac{1}{99} \right) ^{99}$

後面的部分不是很像 $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^n = e$ 嘛
按經驗 $n=99$ 已經算相當大的 $n$ ,原式應該很接近 $\frac{e}{99}$
$e$ 和 99 差那麼多,實際可以肯定是 $99^{100}$ 比較大

如果要馬上作答就是以上
嚴謹一些的話則要確保 $\left( 1 + \frac{1}{99} \right) ^{99}$ 和真正極限 $e$ 的誤差
不能推翻了上面 $e$ 和 99 的比較

複習一下 $\left( 1 + \frac{1}{k} \right) ^k$ 是遞增數列,於是得知
$\left( 1 + \frac{1}{99} \right) ^{99} \le \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^n = e$
所以 $\frac{1}{99} \left( 1 + \frac{1}{99} \right) ^{99} \le \frac{e}{99}$

用Google驗算一下果然 $\frac{100^{99}}{99^{100}} \approx 0.02732$ 而 $\frac{e}{99} \approx 0.02746$
$100^{99}$ 和 $99^{100}$ 之比,相較 $e$ 和 99 之比,還懸殊一點點
上面速算的結綸是沒錯
無名20/07/22(三)21:31:25 ID:oljMXPyYNo.251del
>>250
厲害

3Blue1Brown無名20/06/27(六)12:41:58 ID:cEiNXCHoNo.247del[回應]
https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs

一個好玩的題目
每次看這頻道都能感受到數學的樂趣
但自己下去,卻連線性代數都學得掙扎

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無題無名20/04/13(一)23:06:54 ID:C.UY7jQQNo.237del[回應]
1.為一圓圓周上之點,連接這些點所形成的線段會將圓分割成數個區域,請以尺和圓規或是繪圖軟體畫出區域數最多的圖形。區域請由1依序開始編號,以利判斷是否正確。
無名20/04/13(一)23:07:45 ID:C.UY7jQQNo.238del
是這樣畫嗎?
無名20/04/13(一)23:27:36 ID:C.UY7jQQNo.239del
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這樣是最多了?
無名20/04/16(四)18:52:42 ID:6v1812.2No.240del
你要不要再描述清楚一點
圓周上有幾個點?取點有沒有其他限制?
無名20/06/21(日)15:33:15 ID:kROZHF5cNo.246del
不就完全圖?

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無題無名20/02/24(一)17:20:54 ID:p/UY9Xu.No.234del[回應]
求反三角函數裡有虛數的解法
解工數遇到的
化簡到最後有一個式子如下

atan(e^-ix)+atan(e^ix)

說甚麼真實世界的系統,解出來若有虛數必共厄
然後不管怎麼樣一定能將共厄的復數夠化簡成實數
如果最終的解有虛數就代表算錯

總之,一式要怎麼解阿?
無名20/02/28(五)10:20:59 ID:ToYQt92QNo.235del
看維基百科直接用拓展到複數域上的定義作就可以了

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無題無名19/12/25(三)03:04:35 ID:66M1fQm2No.216del[回應]
請問有人看得懂嗎?求解
轉動貫量
無名20/01/22(三)11:22:50 ID:XJzq5VvsNo.220del
>>216
是問變數意義嗎?
I是轉動慣量,M是質量,R是圓的半徑
R1R2是圓環的內徑與外徑
L是圓柱高
無名20/05/10(日)01:24:37 ID:X8QcGlZQNo.245del
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